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Solo tra il XV e il XVI secolo inizieranno quel complesso di studi che porterà all'analisi. Infatti a cavallo tra questi due secoli vive Renato Cartesio che indubbiamente è molto più grande di quanto si dica, poiché, al di là della sua rilevantissima statura nel campo della conoscenza, basta citare il suo "Cogito ergo sum". Questa semplice frase era, per l'epoca, una vera e propria rivoluzione: immaginiamo cosa volesse dire che io sono in quanto pensante e non io sono e penso in quanto Dio. Dobbiamo quindi riflettere sul fatto che i contemporanei di Cartesio non capirono la portata del suo pensiero: Cartesio legittima la radice del suo essere per il fatto stesso che si percepisce un essere pensante! Galilei fu condannato subito per molto meno, e precisamente perché disse che esistono nell'universo situazioni che possono contraddire una affermazione empirica; quando Galilei dice che è la terra a ruotare intorno al sole non lede né mette in discussione le Sacre Scritture, poiché oggi come 2500 anni fa tutti diremmo: «che bel sole è sorto oggi», e non «oggi siamo sotto un angolo ottimale di visuale del sole». Allo stesso modo Giosuè, anche se fosse stato illuminato dalla Grazia Divina, svegliandosi, avrebbe detto: «fermati oh sole!» e non: «smetti oh terra di ruotare intorno al sole!» Quindi l'attacco della Chiesa a Galilei era essenzialmente filosofico, in quanto egli demandava tutta la giustificazione della conoscenza del mondo alla verifica sperimentale, mentre allora non ci si poteva permettere che la conoscenza avesse altri "sponsor" all'infuori di Dio.

Ecco che Cartesio scampò al rogo per miracolo, tant'è vero che egli scappo più volte fino ad arrivare in Svezia, dove morì di freddo (di polmonite) invece che di caldo (al rogo)! Ma di fatto Cartesio non fu consegnato alla storia come un eretico, bensì come il primo nuovo e sconvolgente ingegno sia dal punto di vista filosofico che matematico.
L'innovazione che Cartesio apporta alla matematica è di due specie, entrambe particolarmente sovversiva: la prima è il rifiuto di considerare ogni conoscenza matematica come geometrica, o meglio, come fondante su un qualcosa che fosse assegnato: dubitare di tutto! Questo è l'unico suo vero principio. Ogni cosa deve essere riportata a qualcos'altro che essendo chiaro ed evidente non si può mettere in discussione oppure a qualcosa su cui ci si mette d'accordo nel non discuterla poiché verrà discussa in un altro momento (assioma).

Prima di Cartesio, il problema di una impostazione assiomatica della matematica sembrava essere stato risolto una volta per tutte da Euclide. Cartesio invece dice che ogni impostazione di studio matematico deve provenire da una convinzione dello studioso che sia rispondente in qualche misura a una conoscenza più vasta del mondo naturale. E in tutto questo discorso fondamentale è il principio di continuità.

Come fa un uomo come Cartesio ad assumere l'esistenza di quel punto D senza avere un postulato di continuità? Cartesio (ed è questo il secondo aspetto fondamentale della sua opera) stabilisce che tanto più una serie di proposizioni matematiche è giustificata dalla sua struttura consequenziale quanto meglio si riesce a tradurla in una stenografia per la quale esistano regole fisse di passaggio da una formula all'altra che mi permettono automaticamente di partire da un assunto e di giungere a un risultato. Non è solo un fatto di linguaggio o di scrittura, Cartesio è il primo a formulare (anche se non in questa forma) quel principio secondo il quale viene soddisfatta la richiesta di una garanzia del nostro ragionare.
Questa sua nuova maniera di scrivere la matematica è importante sia per la sua brevità e per la sua chiarezza, sia per il fatto che ci consente di aver garantito, meglio di qualsiasi altro linguaggio, quel principio secondo il quale una deduzione è corretta se applicando determinate regole alla proposizione P si riesce a giungere dopo un certo numero di passaggi alla proposizione Q con un metodo di deduzione assolutamente automatico. Ciò comporta che gli esperti possono lavorare meglio con un linguaggio sintetico ma chiaro.

Conseguenza immediata fu una fioritura spaventosa, dopo Cartesio, di studi sulle curve algebriche. Ed ecco che un bel numero di studiosi (considerati minori a mal proposito) cominciarono a studiare tecniche, metodi, formule, espedienti e artifizi per trovare per via algebrica le tangenti a una curva in un suo punto, e quindi risolvere il problema fondamentale dell'analisi.

Ma ancora in tutto questo studio c'era qualcosa di difettoso. Tale metodo era prettamente algebrico: malgrado si parli già di tangenti a una curva qualsiasi (che ci paventa già l'idea di funzione) lo si fa con tecniche algebriche. Ma già si conoscevano alcune curve trascendenti che da sole bastavano a far capire che non c'era possibilità alcuna di rappresentarle per via algebrica. Allora ci si rese conto che era impossibile trovare una tangentea una curva con un metodo algebrico: è questo il momento in cui si puòriconoscere una prima scaturigine di calcolo differenziale.