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Equazione parametrica di secondo grado
Un'equazione di secondo grado in forma normale
si dice parametrica se almeno uno dei coefficienti a,b,c dipende da uno o pių lettere variabili, dette parametri.
Sono, ad esempio, equazioni parametriche le seguenti:
In relazione ad un'equazione parametrica si pone il seguente problema:
Data un'equazione parametrica, per quali valori del parametro l'equazione ammette soluzioni sottostanti a date condizioni C?
Per risolvere tale problema bisogna sviluppare le condizioni assegnate C ed ottenere un'equazione (disequazione) risolvente la cui incognita č proprio il parametro.
Risolta tale equazione (disequazione) si ottiene il valore richiesto del parametro.
Generalmente, per ottenere l'equazione (disequazione) risolvente si utilizzano le relazioni tra i coefficienti a, b, c di un'equazione di secondo grado e le sue soluzioni x1, x2:
oltrechč tutte le relazioni matematiched i cui ci fosse bisogno.
Esempio di equazione parametrica
determinare per quale valore del parametro reale k sussistono tra le radici le seguenti relazioni: x1 = x2 (radici reali e coincidenti)
Osserviamo che i coefficienti a,b,c dipendono dal parametro k secondo le relazioni:
e che la condizione x1 = x2 equivale a richiedere che le radici siano reali e coincidenti. Quindi, tenendo conto della tabella precedente, si evince che la condizione x1 = x2 impone che il discriminante dell'equazione sia nullo
Pertanto, ricordato che D = b2 - 4ac si ha l'equazione
da cui, eseguita la potenza e svolto il prodotto indicato, si ha:
risolta la quale si ottiene k =
Quindi possiamo concludere che l'equazione ammette soluzioni uguali se e solo se al parametro k si attribuiscono i valori
ax2 + bx + c = 0
si dice parametrica se almeno uno dei coefficienti a,b,c dipende da uno o pių lettere variabili, dette parametri.
Sono, ad esempio, equazioni parametriche le seguenti:
(m+2)x2 + 5(m-1)x - 4 = 0
x2 + 3x - k = 0
In relazione ad un'equazione parametrica si pone il seguente problema:
Data un'equazione parametrica, per quali valori del parametro l'equazione ammette soluzioni sottostanti a date condizioni C?
Per risolvere tale problema bisogna sviluppare le condizioni assegnate C ed ottenere un'equazione (disequazione) risolvente la cui incognita č proprio il parametro.
Risolta tale equazione (disequazione) si ottiene il valore richiesto del parametro.
Generalmente, per ottenere l'equazione (disequazione) risolvente si utilizzano le relazioni tra i coefficienti a, b, c di un'equazione di secondo grado e le sue soluzioni x1, x2:
x1 + x2 = -b/a
x1 * x2 = c/a
oltrechč tutte le relazioni matematiched i cui ci fosse bisogno.
Esempio di equazione parametrica
(k-1)x2 - (k-2)x + k = 0
determinare per quale valore del parametro reale k sussistono tra le radici le seguenti relazioni: x1 = x2 (radici reali e coincidenti)
Osserviamo che i coefficienti a,b,c dipendono dal parametro k secondo le relazioni:
a = k-1 ; b = -(k-2) ; c=k
e che la condizione x1 = x2 equivale a richiedere che le radici siano reali e coincidenti. Quindi, tenendo conto della tabella precedente, si evince che la condizione x1 = x2 impone che il discriminante dell'equazione sia nullo
Pertanto, ricordato che D = b2 - 4ac si ha l'equazione
(k-2)2 - 4k(k-1) = 0
da cui, eseguita la potenza e svolto il prodotto indicato, si ha:
k2 - 4k + 4 - 4k2 + 4k = 0 => -3k2 + 4 = 0
risolta la quale si ottiene k =
Quindi possiamo concludere che l'equazione ammette soluzioni uguali se e solo se al parametro k si attribuiscono i valori
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