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Il concetto di infinito nella storia
L'infinito è forse, comunque lo si consideri, uno dei misteri, se non il più grande mistero dell'esistenza, una sfida per la razionalità dell'uomo,
e da sempre la volontà di definirlo, analizzarlo e maneggiarlo è stata il sogno, forse proibito ma necessario, di ogni buon matematico.
L'infinito appare subito nella storia della Matematica con il più elementare dei processi: il contare. Comunque si scelga un numero naturale è sempre possibile esibire un numero più grande di esso. D'altra parte, suddividendo ripetutamente un segmento si giunge al concetto inverso di infinitesimo. Infiniti ed infinitesimi percorrono tutta la vicenda matematica, da Pitagora ai giorni nostri, ed appaiono in due forme, potenziale ed attuale, suggerite rispettivamente dalla Aritmetica e dalla Geometria.
Per Pitagora (VI secolo a.C.): I segmenti sono costituiti da un numero finito di punti, entità ultime e indivisibili (infinitesimi attuali), per cui due segmenti qualsiansi sono commensurabili in quanto hanno un sottomultiplo comune. Questa concezione crollò con la scoperta della incommensurabilità del lato e della diagonale del quadrato.
Per Anassagora (500 a.C.): La materia è infinitamente estesa ed infinitamente divisibile; "rispetto al piccolo non vi è un ultimo grado di piccolezza ma vi è sempre un più piccolo ...., così vi è sempre qualcosa di più grande di ciò che è grande....". Insomma, solo infinitesimi ed infiniti potenziali.
Per Zenone (470 a.C.): Se le grandezze geometriche sono costituite da unità elementari indivisibili (monadi), due ipotesi si possono fare:
1) Tali monadi hanno grandezza zero ed allora ogni grandezza geometrica, essendo costituita da elementi nulli, sarebbe nulla.
2) Tali monadi hanno grandezza diversa da zero, e allora l'ente geometrico costituito da infinite parti aventi ciascuna grandezza data, risulterebbe avere grandezza infinita.
Per Aristotele (IV secolo a.C.): Vi sono infiniti e infinitesimi potenziali.
Infiniti ed infinitesimi, sia potenziali sia attuali, compaiono nel calcolo delle aree con Archimede e successivamente nello sviluppo del Calcolo Infinitesimale, che Cauchy fondò sul concetto di limite, basato su infiniti ed infinitesimi potenziali.
La versione attuale viene usata da Leibniz e tornerà, in tempi recenti, rigorosamente definita con l'Analisi non standard.
L'infinito appare subito nella storia della Matematica con il più elementare dei processi: il contare. Comunque si scelga un numero naturale è sempre possibile esibire un numero più grande di esso. D'altra parte, suddividendo ripetutamente un segmento si giunge al concetto inverso di infinitesimo. Infiniti ed infinitesimi percorrono tutta la vicenda matematica, da Pitagora ai giorni nostri, ed appaiono in due forme, potenziale ed attuale, suggerite rispettivamente dalla Aritmetica e dalla Geometria.
Per Pitagora (VI secolo a.C.): I segmenti sono costituiti da un numero finito di punti, entità ultime e indivisibili (infinitesimi attuali), per cui due segmenti qualsiansi sono commensurabili in quanto hanno un sottomultiplo comune. Questa concezione crollò con la scoperta della incommensurabilità del lato e della diagonale del quadrato.
Per Anassagora (500 a.C.): La materia è infinitamente estesa ed infinitamente divisibile; "rispetto al piccolo non vi è un ultimo grado di piccolezza ma vi è sempre un più piccolo ...., così vi è sempre qualcosa di più grande di ciò che è grande....". Insomma, solo infinitesimi ed infiniti potenziali.
Per Zenone (470 a.C.): Se le grandezze geometriche sono costituite da unità elementari indivisibili (monadi), due ipotesi si possono fare:
1) Tali monadi hanno grandezza zero ed allora ogni grandezza geometrica, essendo costituita da elementi nulli, sarebbe nulla.
2) Tali monadi hanno grandezza diversa da zero, e allora l'ente geometrico costituito da infinite parti aventi ciascuna grandezza data, risulterebbe avere grandezza infinita.
Per Aristotele (IV secolo a.C.): Vi sono infiniti e infinitesimi potenziali.
Infiniti ed infinitesimi, sia potenziali sia attuali, compaiono nel calcolo delle aree con Archimede e successivamente nello sviluppo del Calcolo Infinitesimale, che Cauchy fondò sul concetto di limite, basato su infiniti ed infinitesimi potenziali.
La versione attuale viene usata da Leibniz e tornerà, in tempi recenti, rigorosamente definita con l'Analisi non standard.
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