2005 - 2a prova - Liceo Scientifico tradizionale e PNI - Prove scritte maturità anni precedenti by Skuola.it

PROBLEMA 1 SCIENTIFICO TRADIZIONALE
Nel primo quadrante del sistema di riferimento Oxy, ortogonale e monometrico, si consideri la regione R, finita, delimitata dagli assi coordinati e dalla parabola λ d’equazione: y = 6 − x2 .

1. Si calcoli il volume del solido generato dalla rotazione completa di R attorno all’asse y.
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2. Si calcoli il volume del solido generato dalla rotazione completa di R attorno alla retta y = 6 .
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3. Si determini il valore di k per cui la retta y = k dimezza l’area di R.
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4. Per 0 < t < 6 sia A(t) l’area del triangolo delimitato dagli assi e dalla tangente a λ nel suo punto di ascissa t. Si determini A(1).
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5. Si determini il valore di t per il quale A(t) è minima.
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PROBLEMA 1 SCIENTIFICO PNI
Nel piano Oxy sono date le curve λ e r d’equazioni:
λ: : x2 = 4( x − y ) e r: 4y = x + 6 .

1. Si provi che λ e r non hanno punti comuni.
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2. Si trovi il punto P ∈ λ che ha distanza minima da r.
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3. Si determini l’area della regione finita di piano racchiusa da λ e dalla retta s, simmetrica di r rispetto all’asse x.
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4. Si determini il valore di c per il quale la retta y = c divide a metà l’area della regione S del I quadrante compresa tra λ e l’asse x.
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5. Si determini il volume del solido di base S le cui sezioni ottenute con piani ortogonali all’asse x sono quadrati.
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PROBLEMA 2 DI ENTRAMBI GLI INDIRIZZI
Si consideri la funzione f definita sull’intervallo [0 ;+∞ [ da:
f (0 ) 1

f ( x ) = 1/2 x ( 3 2 log x ) 1 se x 0

= − + >
=
x ( 3 2 log x ) 1 se x 0
2
f ( x ) 1
f (0 ) 1
2
e sia C la sua curva rappresentativa nel riferimento Oxy, ortogonale e monometrico.
1. Si stabilisca se f è continua e derivabile in 0.
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2. Si dimostri che l’equazione f(x) = 0 ha, sull’intervallo [0 ;+∞ [, un’unica radice reale.
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3. Si disegni C e si determini l’equazione della retta r tangente a C nel punto di ascissa x = 1 .
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4. Sia n un intero naturale non nullo. Si esprima, in funzione di n, l’area An del dominio piano delimitato dalla curva C, dalla retta tangente r e dalle due rette:
n x = 1 e x = 1.
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5. Si calcoli il limite per n → +∞ di An e si interpreti il risultato ottenuto.
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QUESTIONARIO

Numero 1 tradizionale e 1 PNI
Si dimostri che il lato del decagono regolare inscritto in un cerchio è sezione aurea del raggio e si utilizzi il risultato per calcolare sen18°, sen36°.
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Numero 2 tradizionale e numero 4 PNI
Una bevanda viene venduta in lattine, ovvero contenitori a forma di cilindro circolare retto, realizzati con fogli di latta. Se una lattina ha la capacità di 0,4 litri, quali devono essere le sue dimensioni in centimetri, affinchÃ© sia minima la quantità di latta necessaria per realizzarla? (Si trascuri lo spessore della latta).
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Numero 3 allo Scientifico tradizionale e 2 PNI
Testo: Si dimostri stri che la curva y = x sen x è tangente alla retta y = x quando sen x = 1 ed è tangente alla retta y = −x quando sen x = −1
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Numero 4 tradizionale:
Si dimostri che tra tutti i rettangoli di dato perimetro, quello di area massima è un quadrato.
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Numero 5 tradizionale e PNI:
Il numero e di Nepero [nome latinizzato dello scozzese John Napier (1550-1617)]: come si definisce? PerchÃ© la derivata di ex è ex ?
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Approfondimento PNI <prima parte> <seconda parte>

Numero 6 allo Scientifico tradizionale e numero 7 PNI:
Come si definisce n! (n fattoriale) e quale ne è il significato nel calcolo combinatorio? Quale è il suo legame con i coefficienti binomiali? Perchè?
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Numero 7:
Se f ( x) = x4 −4x3 + 4x2 + 3, per quanti numeri reali k è f(k) = 2 ? Si illustri il ragionamento seguito
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Numero 8:
I centri delle facce di un cubo sono i vertici di un ottaedro. E’ un ottaedro regolare? Quale è il rapporto tra i volumi dei due solidi?
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Numero 9:
Si calcoli, senza l’aiuto della calcolatrice, il valore di: sen2 ( 35° ) + sen2 ( 55° ) ove le misure degli angoli sono in gradi sessagesimali.
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Numero 10:
Si dimostri, calcolandone la derivata, che la funzione x 1 f ( x ) arctg x arctg x 1 + −= − è costante, indi si calcoli il valore di tale costante.
Vai alla soluzione prima parte <seconda parte>

Numero 6 PNI:
Le rette r e s d'equazioni rispettive y = 1+2x e y= 2x-4 si corrispondono in una omotetia di centro l'origine O. Si determini tale omotetia
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Numero 8 PNI:
Si trovi l’equazione della retta tangente alla curva di equazioni parametriche x = et + 2 e y = e−t + 3 nel suo punto di coordinate (3, 4).
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Numero 9 PNI:
Quale è la probabilità di ottenere 10 lanciando due dadi? Se i lanci vengono ripetuti quale è la probabilità di avere due 10 in sei lanci? E quale è la probabilità di avere almeno due 10 in sei lanci?
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Numero 10 PNI:
Il 40% della popolazione di un Paese ha 60 anni o più. Può l’età media della popolazione di quel Paese essere uguale a 30 anni? Si illustri il ragionamento seguito per dare la risposta.
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