Archimede e la sua incompiuta opera

L'unico matematico svincolato e indipendente al dictat di Platone sarà (e lo vedremo più avanti) Archimede. Per Platone bisogna poter rappresentare tutto in termini di estrema sinteticità ed economicità, così come fa Euclide coi suoi 5 postulati. Per Platone parlare di procedimenti infiniti, di continuità o di strumenti che non fossero la riga e il compasso era a dir poco blasfemo; un tecnografo o un pantografo erano per Platone strumenti meccanici, roba volgare che non meritava l'interesse dello studioso o del filosofo. Quindi fino a Platone tutto era coerente con l'impostazione greca del periodo classico.

Ma nel IV secolo a. C stesso comincia un malumore: Eudosso da Cnido, amico di Platone ma sempre in diatriba e in dissidio su questioni matematiche. Infatti Eudosso affronta problemi che per Platone sono osceni dal punto di vista culturale: i suoi procedimenti di approssimazione per ricavare l'area di un cerchio, il cosiddetto metodo di esaustione di Eudosso, che Archimede porterà in auge nei suoi più splendidi risultati (per esempio un calcolo per misurare la lunghezza di un arco di parabola), potremmo oggi paragonarli alla dimostrazione del teorema di Fermat.
Quindi nel IV secolo a. C inizia a serpeggiare la ribellione. Eudosso accetta i procedimenti infiniti, anche se li maschera con discorsi che ricorrono solo garbatamente a questa dinamica senza termine del pensiero. Ma indubbiamente quando Eudosso dice che, inscrivendo un poligono regolare nel cerchio e via via aumentando il numero dei lati del poligono, mantenendone uguale la lunghezza complessiva, ci si può avvicinare all'area del cerchio quanto si vuole, Eudosso sta usando un procedimento infinito. Qual è allora la differenza tra Eudosso e Archimede? In Eudosso il procedimento di approssimazione consiste nella facoltà di avvicinarsi quanto si vuole all'entità voluta, in Archimede c'è il suo raggiungimento definitivo (è un po' la differenza che c'è tra l'analisi standard e quella non standard). Proprio in questo modo Archimede arriva alla dimostrazione che p è il rapporto tra la circonferenza e il suo diametro, oppure il rapporto tra l'area del cerchio e il suo raggio al quadrato.

Finalmente arriviamo al III secolo a. C., secolo che vede esplodere il genio di Archimede, matematico e fisico raffinatissimo.
Forse noi non abbiamo riflettuto abbastanza su cosa significò per l'epoca riuscire a intuire che, per il solo fatto di essere immerso in un liquido, un corpo riceve una spinta dal basso verso l'alto, e sottolineo: per il solo fatto di essere immerso.

Se oggi vi chiedete il perché non vi risulterà così immediato e intuitivo, si deve ragionare in termini di pressione statica, di legge di Pascal e così via, ma Archimede lo intuì, o meglio dopo aver riflettuto a lungo si rese conto che l'immersione di un corpo non permeabile spostava il liquido a livelli più alti di quelli precedenti e per effetto della forza di gravità, questo liquido spostato imprimeva al corpo immerso una spinta che tendeva a riportare l'oggetto a galla, spinta che dipendeva dalla quantità di liquido che veniva mosso dalla sua posizione di riposo.

Da non dimenticare è che Archimede fu anche un grandissimo aritmetico. Nel suo "Arenario" discute tranquillamente dell'infinità dei numeri naturali, il che vuol dire che Archimede accettava l'infinito come quantità. Ricordiamoci che siamo nell'epoca alessandrina, Archimede era pure uno stratega, chissà quanto aveva letto della fornitissima biblioteca alessandrina, non era il solo studioso della realtà di Alessandria, in cui chissà quante volte, nel senso buono, era stata corrotta la purezza della cultura classica. Eppure solo lui, a quanto sappiamo, giunse a risultati che cominciarono a varcare i confini di quella disciplina che poi verrà chiamata calcolo differenziale. Ciò è dovuto probabilmente al fatto che Archimede, più di tutti, applicava il metodo di Eudosso a problemi che toccavano più intimamente la questione differenziale, soprattutto quando si preoccupa di calcolare la lunghezza di un arco di parabola.
Noi oggi sappiamo bene che il calcolo della lunghezza di un arco di curva non è esclusivamente un problema di integrale; quando scriviamo la formula della lunghezza di una curva sappiamo che all'interno dell'integrale definito c'è una funzione che è strettamente legata alla derivata della curva: siamo davanti a un problema in cui calcolo differenziale e calcolo integrale si intrecciano. Ecco perché è stato più importante calcolare la lunghezza di un arco di curva che l'area di figure piane o il volume di certi solidi, poiché l'obbiettivo non è una semplice applicazione del metodo di esaustione, il problema delle tangenti alle curve era nascosto lì sotto. Infatti Archimede è il primo nella storia a fornire il calcolo di tangenti a curve che non sono algebriche.

Molti conoscevano il metodo, anche grafico, di determinare la tangente a una curva algebrica, ma Archimede pensa a curve che di algebrico non hanno nulla, per esempio la sua celeberrima spirale, curva trascendente. Egli stabilisce un metodo per determinare l'angolo di cui bisogna inclinare una retta perché essa in un punto qualsiasi della spirale sia tangente alla spirale stessa: in poche parole è come dire trovare il coefficiente angolare, o, che è lo stesso in termini analitici, introdurre il concetto di derivata. E Archimede ci arriva!

Come si vede, in quel tempo si parlava di retta con una certa confidenza, e dopo Archimede trattare di una curva in senso lato non era più un gran problema. Forse lo era stato per i Greci predecessori di Archimede, poiché noi identifichiamo una curva qualsiasi col suo grafico, ma per i Greci le curve erano solo le curve algebriche di secondo grado, cioè circonferenza, parabola, ellisse e iperbole, tutte curve descrivibili come luoghi geometrici e costruibili con riga e compasso.

Archimede dimostra di essere svincolato da questa idea di curva, la sua spirale non è certamente algebrica. Quindi risulta spontaneo chiedersi come mai Archimede non risolve problemi di analisi, se già è disposto, per conoscere l'area di un trapezoide, ad accettare sia i metodi di approssimazione sia il fatto che l'area sottesa da una curva differisce dall'area del trapezio solo di un infinitesimo (diremmo noi oggi), cioè una quantità d'area che sapeva essere trascurabile poiché lo aveva già fatto col metodo di esaustione per il cerchio.

Archimede sa che quest'area si avvicina ad A=(h1+h2)d/2, a parte l'infinitesimo d: Quindi se facciamo A/d=(h1+h2)/2 otteniamo la media h dei segmenti h1 e h2, cioè la distanza di quel punto dalla curva.

E quindi è strano che Archimede non abbia dimostrato il seguente teorema: "Data una curva e una retta che non le appartiene, l'incremento dell'area sottesa dalla curva differisce di un infinitesimo di ordine superiore dalla distanza h=f(x) della curva dalla retta", che è il teorema di Torricelli-Barrow se si interpreta la retta come l'asse x e la curva come una y=f(x).
Quindi risulta spontaneo collegare l'integrale con la derivata. In termini moderni cioè, se l'integrale di una funzione viene derivato, il risultato non è altro che la funzione stessa.

Come mai Archimede non arriva a tale risultato? Oppure non è arrivata a noi l'opera in cui Archimede parla di ciò? Oppure, ancora, Archimede non si poneva il problema di trovare un collegamento tra il metodo di esaustione e il metodo delle tangenti, cioè non ha collegato il calcolo differenziale al calcolo integrale? Personalmente mi piace di più pensare che Archimede non si pose il problema, poiché, sono certo, se se lo fosse posto non gli sarebbero mancati né gli strumenti né le capacità.