Il problema dell'Analisi e l'età classica

L'intento sarà quello di illustrae essenzialmente attraverso quali grandi idee si è sviluppata la premessa a quella che noi chiamiamo analisi moderna e che poi ha portato attraverso i vari stadi successivi dei suoi sviluppi alle motivazioni che giustificano l'introduzione della misura di Lebesgue. Per concludere con un accenno al perché si è dato uno sbocco nella direzione parallela dell'analisi non standard.
Per ragioni cronologiche sarà fatto un breve cenno a quelli che sono stati i capisaldi dell'annunciazione dell'analisi nell'antichità, poiché, escludendo Archimede che fu un prodigio non tanto per la mole delle sue opere per la sola parte che ci è arrivata (Archimede ha scritto moltissime altre cose di cui non ci è pervenuta neanche una riga) ma per la modernità del suo pensiero, o meglio per la sua concezione così attuale di fare analisi; tant'è che mi piace pensare che Archimede sia arrivato a qualche risultato che avrebbe aperto il calcolo integrale moderno, ma che l'opera in cui ciò scrisse non ci sia arrivata (ricordiamoci che per noi Archimede è ciò che Orazio e Tacito, tramite l'opera degli scrivani medievali, ci hanno tramandato).
Per cui fatta eccezione per Archimede, per tutti gli altri si può parlare solo di annunciazione dell'analisi, e in effetti l'arcangelo Gabriele di questa annunciazione fu Pitagora. Anche Eric T. Bell nel suo volume "I Grandi Matematici" (oggi forse un po' datato in quanto scritto prima della seconda guerra mondiale) dice esagerando che l'analisi moderna nasce con Pitagora1. Ma cos'è e cosa fa l'analisi matematica? Se proprio vogliamo dare una definizione che non pecchi di parzialità, possiamo dire che l'analisi matematica si occupa di tutto quello che sono i procedimenti infiniti e le questioni di continuità, concetti che molto spesso intervengono simultaneamente nei problemi di analisi. Vale anche il viceversa: una disciplina in cui si parla di geometria e di algebra non ha nulla a che fare con la continuità e coi procedimenti infiniti.

Ma perché è Pitagora il precursore dell'analisi? Egli è il primo a porre un problema che è comune a tutti i grandi problemi di analisi matematica: operare su un insieme, che ha una certa struttura, con un procedimento infinito. E se al risultato di un tale procedimento si può applicare la somma o il limite dei singoli procedimenti che si applicano alle parti che si percorrono per arrivare al risultato, ciò (è difficile a dirsi, ma concettualmente è semplice) che abbiamo fatto è applicare il concetto di continuità. Esempio: prendiamo il problema dell'integrale per serie; se calcolo l'integrale di una famiglia di funzioni, posso dire che la somma della serie degli integrali è uguale all'integrale della funzione somma della serie? Da tale problema nasce la madre di tutti gli altri problemi. Naturalmente parlando di successioni si pensa subito a Cauchy, ma prima di lui, se non temporalmente allora logicamente, già Dedekind prende in esame questioni di continuità quando si pone il seguente quesito: se io mi avvicino tramite procedimento infinito a un ente, è sicuro che questo ente lo posso prendere perché esiste? Oppure tale procedimento di avvicinamento non porta a niente pur essendo il procedimento convergente? Ma cosa c'entra allora Pitagora? Egli è il primo ad accorgersi dell'irrazionalità di √2.
Bisogna ricordare innanzitutto che tutte le grandissime questioni di storia della scienza, irrazionalità di √2 compresa, sono venute fuori da considerazioni semplicissime che però prima non si erano fatte; ciò vuol dire che qualcuno ha riflettuto su una situazione che gli altri avevano considerato ovvia, invece il grande pensatore è quello che si ferma e ci riflette sopra. E così fece Pitagora, il sacerdote del numero, che, avendo grande costumanza con numeri primi, fattori primi, operazioni coi numeri interi, fa una semplice considerazione e scopre una grande cosa: l'irrazionalità di √2. Richiamiamolo brevemente.
Se, per assurdo, √2 fosse uguale a un razionale p/q, con p e q coprimi, allora 2=p2/q2 o, che è lo stesso, 2q2=p2. Ma se p è dispari anche p2 lo sarà e quindi 2q2=p2 non può sussistere; se p è pari allora p=2p', con p' numero naturale, e allora si ha che 4p'2=2q2 cioè q2= 2p'2, e quindi q è pari, fatto che è contro l'ipotesi che voleva p e q coprimi. Quindi, uno che non è Pitagora, davanti a 2q2=p2 sarebbe anche andato avanti, ma Pitagora no! Egli si accorge di aver scritto qualcosa di assurdo, e, in base a quanto detto prima, Pitagora conclude che è impossibile trovare un certo numero razionale p/q che rappresenti √2. Ecco che stava nascendo il primo grande problema dell'analisi, che scaturito da una semplice osservazione geometrica se ne era distaccato immediatamente per la sua acutezza (sino ad allora la geometria era legata a un'intuizione fisica e alla visione dell'oggetto matematico). Importante fu allora capire che malgrado quel √2 non poteva esistere tutti lo avevano "visto": basti pensare alla diagonale di un quadrato di lato unitario. Ma allora quella diagonale esiste e non ha lunghezza? Quindi ci sono segmenti che non hanno una lunghezza? Ecco che, in quel momento, nasce, sebbene non come risultato ma come problematica, l'analisi: se si prende una famiglia di segmenti tutti esistenti e di lunghezza nota, tutti contenuti nella diagonale del quadrato e si mettono in ordine, essi possono avvicinarsi alla diagonale del quadrato pur non avendo quest'ultima una lunghezza. Ecco un tipico esempio di continuità che salta: tutti i segmenti hanno una propria lunghezza, la loro successione (per dirla in termini moderni) si avvicina alla diagonale, ma la diagonale non ha lunghezza. Risultato: non si esagera dicendo che con tale problematica nasce l'analisi matematica. E vedremo che anche un concetto moderno come la misura di Lebesgue, nascerà da una esigenza simile.
Ecco perché volendo dare una definizione di analisi matematica, possiamo dire che è quella disciplina che si interessa di questioni matematiche in cui sono correlati strettamente i procedimenti infiniti e i problemi di continuità.

Fino al secolo VI a.C. non c'era alcun sospiro di analisi, fino ad allora si faceva aritmetica o geometria di Talete, Euclide non era ancora venuto e anche se fosse venuto non sarebbe cambiato nulla poiché Euclide ha tutto nel suo spirito tranne la mentalità di analista, la sua parola d'ordine era antianalitica e vedremo come, pur di non porre questioni di analisi e mantenersi lontano dall'analisi, arriva anche a imbrogliare.
Una cosa è certa: fino al III secolo a.C. alle questioni di analisi erano più attenti i filosofi che i matematici. Infatti è nel V secolo a.C. che Zenone, filosofo atipico, si reca ad Atene in compagnia del suo grande amico Parmenide, per "bisticciare" con la metà dei filosofi ateniesi sui suoi paradossi, che essi stessi non sapevano risolverli e, quindi, se la prendevano con Zenone che glieli aveva proposti. Ma Zenone che fa? Tutti conosciamo la storia di Achille e della tartaruga, e Zenone ad Atene racconta questa storia non per prendere in giro i filosofi, ma per mettere in discussione, senza dar risposta, la liceità dei procedimenti infiniti. Quindi se i professori di filosofia parlano di Zenone come un poveretto che voleva sostenere che Achille non raggiungeva la tartaruga, lo presentano male. Zenone era un contadino, figuriamoci quante volte nei suoi campi e con i suoi piedi aveva superato una tartaruga! Zenone non era un pazzo o un astratto che viveva di allucinazioni così come farà più tardi Nietschtze, che visse gli ultimi anni della sua vita in manicomio. Zenone viveva a contatto con la terra, e pensava! Zenone non poteva mettere in discussione l'indiscutibilità della realtà esterna, voleva dire che se i filosofi parlavano di moto in senso discreto e non continuo non gli spiegavano nulla, anzi Zenone gli faceva vedere che in quei termini il moto non esisteva; ma Zenone fa ancora di più: li mette davanti alle loro responsabilità e comincia col presentare due aspetti che dal punto di vista matematico sono la stessa cosa: uno, fa vedere che apoditticamente il moto non esiste e, due, con un esempio dimostra che se per assurdo il moto esistesse si arriverebbe a un contrario. Quindi dà una doppia dimostrazione dell'inesistenza del moto, ove per moto si intenda quello discreto.

Infatti chiunque si dovesse muovere da un punto A ad uno B a destra di A, deve prima raggiungere una certa posizione C a destra di A e poi un'altra posizione D e così via; ma poiché per muoverci da una data posizione a un'altra bisogna sempre (e questo procedimento non ha mai fine) raggiungerne una precedente, non potremo mai spostarci dalla posizione iniziale.

Questo ragionamento era ineccepibile per l'epoca, poiché allora il movimento era inteso senza l'utilizzo della continuità, e la continuità stessa non era stata analizzata nella sua struttura più intima. In quel periodo si procedeva per successioni discrete, e anche i razionali (benché già si sapesse che comunque presi due razionali posso sempre trovare uno nel loro mezzo) sono una infinità numerabile e presentano una grossa difficoltà: la non continuità. Visto che la retta razionale è non continua, e ancora nel V secolo a.C. si aveva la visione del numero come del procedere lungo la linea della consequenzialità, non si giungeva ad altro che affermare che non si potrà mai abbandonare la posizione iniziale A. Come si può vedere il problema della freccia che non lascia mai l'arco è matematicamente un problema di successioni. Viceversa, per il paradosso di Achille e della tartaruga, Zenone non fa altro che spostare il discorso sull'altra parte del segmento: la tartaruga ora è in B e Achille è in A; nel tempo che la tartaruga si muove da B a B' anche Achille si sarà mosso da A a B, ma ora la tartaruga è in B'; e se, nel frattempo, la tartaruga arriva in B'', Achille raggiunge B', e così indefinitamente: Achille, quindi, non raggiungerà mai la tartaruga.

Ma ricordiamo, ciò succedeva poiché il loro modo di procedere era discreto e non continuo, e in tali condizioni il moto non esiste! E i filosofi se la presero tanto non perché non seppero rispondere, né avrebbero saputo farlo per i futuri 20 secoli, ma quanto piuttosto perché si resero conto che Zenone scosse alle fondamenta il loro modo di vedere e concepire la natura. Lo stesso Euclide, che forse è il più classico dei greci classici, non si pose mai il problema. Ciò conferma il fatto che fino a Zenone e Pitagora la cultura greca è ancora alla sua fase testataria; la vera cultura classica arriverà nel IV secolo a. C con Platone e Aristotele, e quindi Euclide, a conferma della sua pura classicità, non vuol sentir parlare di ciò che è procedimento infinito o continuità.

Ma attenzione: dobbiamo distinguere il rifiuto di infinito come quantità numerica o quantitativa dal rifiuto del procedimento infinito. Sono due approcci diversi del concetto di infinito, tanto più che i greci erano disposti ad accettare per infinito una misura di quanto è grande una certa cosa, e precisamente quella più grande di tutte le altre. Euclide dice chiaramente che le rette per un punto sono infinite, usando un termine che è equivalente al nostro "infinito": essi erano disposti quindi ad accettare un campo numerico (magari quello dell'analisi non standard) anche se non sapevano manovrarlo. Quello che non riuscivano ad accettare era un procedimento infinito, che richiedeva un numero infinito di passi.
Ecco perché quando ci viene detto: il greco rifiuta il concetto di infinito, ci si deve chiedere a quale infinito ci si sta riferendo, poiché non è l'infinito per cui nasce la diatriba scolastica, aristotelica, quella dell'infinito in atto o in potenza; l'infinito che i greci classici rifiutano è quello dei procedimenti mentali che portano a paradossi del tipo di Zenone. È un po' come la soluzione che dà Russell quando scopre il suo paradosso dell'insieme di tutti gli insiemi: è plausibile pensare all'insieme di tutti gli insiemi, ma parlarne porta a tali contraddizioni che è meglio non parlarne. Quando qualcosa ci dà fastidio la prima reazione che si ha è quella di ignorarla; così fecero i greci, e così fece anche Euclide ignorando tutti i problemi di analisi matematica, tant'è che nei suoi assiomi non ce n'è uno che abbia la più lontana parvenza di un assioma di analisi, anzi i suoi assiomi assomigliano di più ad assiomi algebrici ma certamente non ad alcuni di analisi. Eppure Euclide adopera un assioma dell'analisi barando consapevolmente: egli sfrutta l'assioma di Dedekind, senza mai ammetterlo, nel momento in cui discute delle mutue relazioni tra i cerchi e le rette, soprattutto quando parla di loro intersezioni e si trova davanti a situazioni di questo tipo: sia dato un cerchio Γ di centro C e un punto P al di fuori di esso, si consideri il segmento CP e sia D l'intersezione di Γ con CP.
Ma chi ci assicura che il punto D esista davvero? D può anche non esistere, ed Euclide lo sa benissimo! Infatti, in matematica "esistere" vuole dire "possibilità di affermare l'occorrere di un ente senza che esso entri in contraddizione con gli assiomi". Ma per quell'epoca, ricordiamolo, quel punto D spesso non esisteva! Ed Euclide lo sapeva e lo ha ignorato.
Infatti, consideriamo il più banale dei cerchi, la circonferenza goniometrica x2+y2=1, e la più banale delle rette dopo gli assi coordinati, la bisettrice y=x. In tale situazione, se il nostro campo è quello razionale, il punto D non esiste poiché ha per coordinate (√2/2;√2/2), che si sapevano non esistere sin dai tempi dei pitagorici.

Euclide non dice una sola parola sulla questione, anche perché egli non fa geometria analitica né usa le coordinate cartesiane. Ciò comunque non gli impedisce di sapere che il punto D ha coordinate (√2/2;√2/2), non ha bisogno di Cartesio per dire, parlando con suoi termini, che la proiezione di quel raggio di lunghezza 1 ha un lunghezza irrazionale; Euclide sa benissimo che essendo la diagonale 1, i lati del quadrato non esistono, o meglio non sono razionali.
Un altro motivo per cui Euclide non dice nulla è perché non ha mai definito quell'entità che chiama retta. Infatti Euclide ragiona assiomaticamente e non per postulati, cioè formula la definizione delle entità di cui parla tramite le proprietà che l'assioma enuncia, in altre parole, diremmo noi oggi, definisce implicitamente gli enti di cui parla tramite gli assiomi. Per Euclide l'unica cosa importante è che quell'ente che chiama retta obbedisca ai suoi assiomi, poi come la retta sia effettivamente fatta, non gli interessa granché, né lo vuole sapere. Tant'è vero che esistono modelli di geometria euclidea che non è lo spazio che ci circonda.
Quindi Euclide, ignorando che duemila anni dopo sarebbe venuto un tizio di nome Dedekind, sfacciatamente fa uso del postulato di continuità di quel tizio, e in più tace qualcosa che sarebbe rimasta ancora taciuta per almeno 1500 anni: l'analisi matematica. Certo Euclide avrà ben esaminato le proposizioni che dovevano reggere la sua geometria, ha ben scelto le 5 affermazioni che dovevano diventare gli assiomi relegando tutte le altre proposizioni allo status di teoremi dimostrabili a partire da quelle 5.
Nella sua forma mentis non avrebbe mai trovato posto un elemento che aveva qualcosa a che fare con l'analisi matematica; e quando si trova costretto a usarla, lo fa sottobanco. Tenete presente che al IV secolo a.C. appartiene anche Platone e la sua influenza in atteggiamenti futuri è notevolissima.