La teoria delle serie

Il concetto di serie pu, in un certo senso, essere considerato una estensione di quello di polinomio, quando il numero dei termini che compongono l'espressione tende all'infinito (Nei tempi andati, infatti, la serie e' stata anche indicata con il termine infinitonomio ). Si pu anche riguardare la serie come la somma degli infiniti termini di una successione. Una serie dunque una espressione del tipo

S=U1+U2+U3+U4+...

dove il termine generico Uk dato in base ad una qualche regola e k un indice intero. Si potrebbe credere che la somma di infiniti termini dia sempre un risultato infinito, cosa ovviamente possibile, ma non sempre cos. La serie in cui gli Uk sono tutti uguali ed uguali ad un numero fissato, p.es. Uk=1, da' un risultato infinito, come e' facile immaginare

S=1+1+1+1+... tende all'infinito

cos come la serie dei numeri naturali, in cui Uk = k, con k appartenente ad N. Esistono tuttavia serie che dnno un risultato finito e calcolabile, ovviamente sotto certe condizioni. Tali serie vengono dette convergenti e solo in tal caso ha senso parlare di somma della serie. Negli altri casi la serie si dice divergente. Un esempio di serie convergente :

S=1+1/2+1/4+1/8+...(1/2)^k+...

la serie converge e la sua somma pari a 2, come dimostreremo in seguito. Si tratta di un esempio di una serie ben conosciuta e molto importante, la serie geometrica. In essa il termine generico Uk una potenza e la serie converge sotto certe condizioni; q detta ragione della serie,

Uk=q^k; S=1+q+q^2+q^3+...

Un esempio importante di serie divergente invece la serie armonica,

Uk=1/k; S=1+1/2+1/3+1/4+...+1/k+...