Il linguaggio della matematica

La matematica, così come le altre scienze esatte, si distingue dalle discipline linguistiche, dal punto di vista del linguaggio, per il significato che essa dà ai termini che usa per descrivere i concetti. La necessità del rigore logico e della chiarezza dell'esposizione impongono a questa scienza una scelta oculata dei termini e una definizione precisa del loro significato. Non è possibile, nè accettabile, che una parola abbia più di un significato, come avviene talvolta nel linguaggio comune, o che la verità di una affermazione dipendano dal capriccio di Tizio o Caio. Per impedire abusi ed errori in questo senso i matematici hanno elaborato un linguaggio simbolico che permette di esprimere i concetti in modo chiaro ed univoco. Tale linguaggio è utilizzato in particolare nella Teoria degli insiemi, alla quale faremo spesso implicito riferimento nel seguito, con particolare attenzione agli insiemi numerici. Nella pagina seguente si può trovare una tavola riepilogativa dei simboli più comuni utilizzati nel libro. Oltre all'accuratezza del linguaggio, in matematica, si fa anche particolare attenzione alla correttezza del ragionamento. Ci riferiamo qui alle regole della Logica matematica che sovrintendono ai ragionamenti di questa scienza. Le regole di inferenza logica ed i metodi di dimostrazione sono di fondamentale importanza per il corretto sviluppo del ragionamento. Cardine di tutta l'impostazione matematica è il metodo deduttivo, sviluppato dai matematici greci oltre duemila anni fa.
Riassumiamo alcune definizioni che ci saranno necessarie per il seguito:

- Intervallo: insieme di numeri reali compresi tra due estremi.
L'intervallo si dice chiuso se comprende anche gli estremi, aperto se non li comprende; se, per esempio, la variabile x assume valori compresi tra 1 e 3 si scrive:

1 < x < 3

per l'intervallo chiuso si scrive:

1 =< x =< 3

- Intorno di un punto Xo: è un intervallo aperto che contiene il punto Xo.

- Intorno destro (sinistro) di un punto Xo: è un intervallo che contiene il punto Xo ed i cui valori sono tutti maggiori (minori) di Xo.

- Punto di accumulazione: un punto Xo si dice di accumulazione se ogni suo intorno contiene almeno un altro punto distinto da Xo.