Infiniti e infinitesimi

L'analisi matematica tratta in maniera estesa e particolareggiata delle grandezze infinitamente grandi ed infinitamente piccole. La nozione di infinito è abbastanza intuitiva ma una sua definizione matematica fu data da G.Cantor solo alla fine del secolo scorso ed è basata su una particolare proprietà degli insiemi infiniti. Egli osservò che, in un insieme infinito, è possibile porre in corrispondenza biunivoca l'insieme stesso con un suo sottoinsieme proprio, cosa impossibile per un insieme finito. Per esempio, è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra l'insieme dei numeri interi e quello dei dispari. Dall'esempio mostrato può sembrare che il secondo insieme contenga meno elementi rispetto al primo, ma così non è. Proprio la possibilità di stabilire una corrispondenza biunivoca tra i due porta a concludere che la cardinalità, cioè il numero di elementi, è la stessa. Gli insiemi che possono essere posti in corrispondenza con i numeri interi si dicono numerabili, ovvero che hanno la potenza del numerabile. Oltre ad N sono numerabili anche gli insiemi Z e Q. La loro cardinalità è indicata con un simbolo speciale che si chiama "Alef con zero". Tale notazione è necessaria per distinguerli da altri insiemi numerici che non possono essere posti in corrispondenza con N. Tali sono gli insiemi I ed R. La loro cardinalità è maggiore di quella del numerabile e viene indicata con il simbolo "Alef con uno". Intuitivamente possiamo dire che I ed R contengono 'più' elementi di N o Q. La loro cardinalità è detta potenza del continuo. Notiamo dunque che gli infiniti non sono tutti uguali. La serie degli Alef continua anch'essa fino all'infinito, formando un insieme detto dei numeri cardinali transfiniti. Le operazioni con le grandezze infinite hanno alcune particolarità. Per esempio, in base alla definizione di infinito di Cantor, risulta che aggiungendo o togliendo un numero finito di elementi ad un insieme infinito non cambia la sua cardinalità. Se, per esempio, dall'insieme degli interi si tolgono i primi cento numeri è ancora possibile porre il nuovo insieme in corrispondenza biunivoca con l'insieme completo. Esso ha ancora la potenza del numerabile. Si deve dunque operare con alcune cautele quando si incontrano le grandezze infinite, problema che incontreremo più avanti nello studio delle forme notevoli e delle forme indeterminate.