Integrale secondo Riemann

Primo Teorema Fondamentale del Calcolo

Sia f una funzione continua in un intervallo aperto contenente l'intervallo [a, b].
Sia per a < x < b.
Allora G è derivabile in [a, b] e la sua derivata è f; cioè .





Secondo Teorema Fondamentale del Calcolo

Se f è continua in [a, b] e se F è una qualunque primitiva di f, allora:




I due teoremi ci dicono che:
1) Ogni funzione continua ha una primitiva; 2) Per valutare l'integrale definito di una funzione continua, trova una sua primitiva e valutala negli estremi dell'intervallo. Quello che i Teoremi Fondamentali del Calcolo non garantiscono è che la primitiva di una funzione continua possa essere scritta in termini di funzioni elementari: polinomi, seno, coseno, radici, esponenziali e logaritmi. Essi ci danno, comunque, un semplice metodo per valutare l'integrale permettendoci di scegliere una qualsiasi primitiva della funzione integranda.