L'età medievale

Dopo l'età ellenistica e il sopraggiungere dei Romani (e le vicende di Archimede sono strettamente legate all'espansione di Roma), e soprattutto con l'uccisione di Archimede, si chiuse il periodo più bello della matematica nell'antichità e inizia un lungo inverno di letargo degli studi matematici nell'occidente che continuerà per tutto il periodo medievale. In quei secoli avremo solamente gli studi sulla prima algebra e sulla trigonometria da parte degli Arabi (ma siamo già 1000 anni dopo Archimede), studi che sono indispensabili allo sviluppo dell'analisi, basti pensare agli sviluppi in serie, ma che non hanno quello spirito che contraddistingue l'analisi: l'interazione tra procedimenti infiniti e continuità, che è lontana dalla mente dell'algebrista o da quella di chi si intende di trigonometria.

Ci furono anche gli esercizi stereotipi di scolastica sulle orme della filosofia ellenistica e il pensiero di San Tommaso d'Aquino, che con quella sua giaculatoria forma di modi di dire e quelle sue tecniche automatiche di ragionamento addormentò la filosofia (si pensi al suo "ipse dixit" per troncare ogni discorso e ogni possibilità di dialettica in ambito filosofico).
I primi segnali di risveglio li troviamo più di un millennio e mezzo dopo Archimede, periodo che intercorre tra il III secolo a. C e il 1200, quando Leonardo Pisano, figlio di Bonaccio, detto Fibonacci, iniziò a interessarsi, sulla scia degli studi arabi, e a esaminare timidamente alcune proprietà dei numeri, delle equazioni (già studiatissime dagli arabi ma tutte espresse in forma retorica, poiché non esisteva ancora quella preziosissima stenografia dovuta a Cartesio) e delle successioni di numeri che presentavano particolari assetti (i cosiddetti numeri di Fibonacci). Ma quanto ad analisi, intesa sempre come quella attività della matematica che studia e intreccia procedimenti infiniti e continuità, nulla.

Verso il secolo XV cominciano a spuntare proclami di analisi con Cardano, che risolve equazioni di grado superiore a 2. I calcoli iniziano a complicarsi e conseguentemente le soluzioni non possono essere più razionali.
Ma facciamo un passo in dietro. Ricordiamoci che quando Euclide dice che due rette si intersecano in un punto che esiste, Euclide non ha bisogno di barare: i coefficienti delle sue equazioni sono razionali e Cramer oggi ci assicura che le soluzioni sono sempre razionali in quanto date dal rapporto di determinanti che si ottengono da somme e prodotti dei coefficienti (razionali). Non può però esistere il punto d'intersezione tra retta e circonferenza, poiché la circonferenza (lo dico a parole nostre ma allora si sapeva bene) è rappresentata da un'equazione di grado 2, quindi il sistema tra retta e circonferenza è di secondo grado, e la sicurezza di avere soluzioni razionali non ci è più data.

Ecco perché quando nel XIII secolo vediamo autori che si cimentano nello studio di equazioni di grado superiore al primo, cominciamo a entrare in un settore in cui si hanno prodromi di analisi, poiché si comincia quanto meno ad auspicare l'esistenza di qualcosa che ancora mancava: R e C, quando la soluzione non esisteva neanche come numero irrazionale.